控制系統(tǒng)工程至少需要了解系統(tǒng)的兩個(gè)基本組成部分：描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模行為的設(shè)備，以及您試圖達(dá)到的目標(biāo)的輸出。巡航控制系統(tǒng)已成為汽車行業(yè)中司空見慣的控制系統(tǒng)：輸出由駕駛員編程，控制系統(tǒng)必須管理所有車輛讀數(shù)以保持速度。  

因?yàn)槲覀冃旭偟牡缆酚腥毕?，有時(shí)系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)加速或減速。如果您曾經(jīng)在汽車上使用過(guò)此功能，您可能會(huì)注意到汽車會(huì)以您選擇的速度保持非常平穩(wěn)的速度 - 它不會(huì)突然加速或減速。這意味著車輛的控制系統(tǒng)首先獲得所需的輸出，然后通過(guò)補(bǔ)償輸入（例如，通過(guò)向發(fā)動(dòng)機(jī)提供多少燃料）來(lái)管理實(shí)際輸出的誤差。
在解決系統(tǒng)問題之前，我們將簡(jiǎn)要分析系統(tǒng)（未補(bǔ)償）的組件和行為，然后分析 PID（比例-積分-微分）控制器的各個(gè)組件。一步是將這兩者結(jié)合起來(lái)并設(shè)計(jì)一個(gè) PID 控制器來(lái)補(bǔ)償初觀察到的系統(tǒng)。重要的是要知道 PID 控制器不是設(shè)計(jì)人員可以應(yīng)用于系統(tǒng)的補(bǔ)償類型，但它是一個(gè)很好的起點(diǎn)，可以開始學(xué)習(xí)一些在其他方法中仍然適用的通用特性。 

注意：在本教程中，我們將在理想條件（無(wú)噪聲或干擾）下分析模擬系統(tǒng)，所有或大部分?jǐn)?shù)學(xué)分析將通過(guò) MATLAB 完成。

觀察系統(tǒng)

一個(gè)系統(tǒng)可以由以同樣不同的方式排列的各種組件組成；但我們將從分析經(jīng)典閉環(huán)系統(tǒng)的組件和功能開始（圖 1）。  

圖 1 - 單輸入單輸出系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的示例框圖。

1. 輸入： r - 輸入是某種參考值，應(yīng)該與系統(tǒng)的輸出直接相關(guān)。這不一定直接轉(zhuǎn)換為電壓/電源，而是將電壓/電源連接到系統(tǒng)的設(shè)置或開關(guān)。在我們稍后分析的系統(tǒng)示例中，我們的輸入信號(hào)將是單一步驟。 
    
2. 控制器：   C - 在我們的例子中，這是我們將設(shè)計(jì)的 PID 控制器。它位于我們要補(bǔ)償?shù)脑O(shè)備之前，就在輸入信號(hào)和反饋的連接點(diǎn)之后。 
    
3. Plant：   G - 這是您所有的子系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)上表示為傳遞函數(shù)。如果您試圖控制的是直流電機(jī)，那么設(shè)備實(shí)際上就是您的直流電機(jī)。您的輸入將使工廠以一種方式做出反應(yīng)，從而提供接近您的輸入的輸出值。
    
4. 輸出：  y - 該讀數(shù)是實(shí)際系統(tǒng)對(duì)我們期望的響應(yīng)（輸入）的響應(yīng)，該響應(yīng)已通過(guò)我們組裝的系統(tǒng)（工廠）。系統(tǒng)的性能是通過(guò)輸出與輸入的比較來(lái)判斷的，假設(shè)會(huì)發(fā)生某些錯(cuò)誤并且已被認(rèn)為是可以接受的。  
    
5. 反饋：   H  - 在系統(tǒng)的等效框圖（見圖 1）中，反饋線將系統(tǒng)的輸出引入輸入。這意味著可以測(cè)量輸出（實(shí)際響應(yīng)）和輸入（期望響應(yīng)）之間的任何差異 - 換句話說(shuō)，輸入和輸出之間的誤差是引入控制器的誤差。我們系統(tǒng)的誤差等于：輸入 - 輸出 x H；如果系統(tǒng)有單一反饋（即 H = 1），那么我們的誤差就是輸入減去輸出。當(dāng)我們繼續(xù)描述 PID 控制器的每個(gè)方面如何工作時(shí)，這將是一個(gè)重要的想法。
    
6. 重要的是要注意，通過(guò)使用閉環(huán)傳遞函數(shù)，圖 1 中完整環(huán)路的傳遞函數(shù)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為具有單個(gè)輸入和單個(gè)輸出的一個(gè)塊：

閉環(huán)(s)=C(s)?G(s)1+C(s)?G(s)?H(s)閉環(huán)(s)=C(s)?G(s)1+C(s)?G(s)?H(s)

PID 控制定義

PID 控制器實(shí)際上是一個(gè)三部分系統(tǒng)： 

• 比例補(bǔ)償：比例補(bǔ)償器的主要功能是引入與系統(tǒng)輸出和輸入比較產(chǎn)生的誤差讀數(shù)成比例的增益。  
   
• 微分補(bǔ)償：在酉反饋系統(tǒng)中，微分補(bǔ)償器會(huì)引入誤差信號(hào)乘以增益$$K_D$$的導(dǎo)數(shù)。換句話說(shuō)，誤差信號(hào)波形的斜率將引入到輸出中。其主要目的是改善整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。
   
• 積分補(bǔ)償：在單一反饋系統(tǒng)中，積分補(bǔ)償器將引入誤差信號(hào)乘以增益$$K_I$$的積分。這意味著誤差信號(hào)曲線下方的區(qū)域?qū)⒂绊戄敵鲂盘?hào)。我們稍后會(huì)證明這一點(diǎn)，但重要的是要注意控制器的這一方面將改善整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

因此，PID 控制器可以在數(shù)學(xué)上描述為： 

除了簡(jiǎn)單之外沒有其他原因，人們可以理解為什么在分析或設(shè)計(jì)類似系統(tǒng)時(shí)專門使用 s 域 - 使用分?jǐn)?shù)總是比進(jìn)行積分和/或?qū)?shù)更容易。如果我們現(xiàn)在將我們描述的 PID 控制器應(yīng)用到圖 1，我們的框圖現(xiàn)在將類似于您在下面的圖 1.1 中看到的內(nèi)容。
 

圖 1.1 - 我們的“C”塊基本上是紅色框中包含的所有內(nèi)容：對(duì)系統(tǒng)的比例、微分和積分補(bǔ)償?shù)目偤汀?/font>

輸出特性

現(xiàn)在我們知道系統(tǒng)是由什么組成的以及我們將如何應(yīng)用 PID 控制器，我們可以開始討論輸出信號(hào)的特性（畢竟，這是我們正在監(jiān)控并試圖改變的）  

重要方程
輸出分析： 

穩(wěn)態(tài)誤差分析：

     $$e\left(\infty \right)=e_{step}\left(\infty \right)=\frac{1}{1+K_p}$$ 其中 $$K_p=\underset{s\to 0}{lim}G\left(s\right)$$ 
     
     $$e\left(\infty \right)=e_{ramp}\left(\infty \right)=\frac{1}{K_v}$$ 其中 $$K_v=\underset{s\to 0}{lim}s?G\left(s\right)$$ 
     $$e\left(\infty \right)=e_{拋物線}\left(\infty \right)=\frac{1}{K_a}$$ 其中 $$K_a=\underset{s\to 0}{lim}{s}^2?G\left(s\right)$$

圖形表示：

圖 1.2 - 該圖提供了不同阻尼比如何影響系統(tǒng)輸出（響應(yīng)階躍）的可視化。這也顯示了系統(tǒng)阻尼比和超調(diào)百分比之間的直接相關(guān)性（阻尼比越小，超調(diào)越大）。

圖 1.3 - 系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)示例。使用 MATLAB SISO 工具的分析允許用戶顯示響應(yīng)的特征 - 在本例中為：峰值時(shí)間、過(guò)沖和穩(wěn)定時(shí)間。

Matlab 中的控制器設(shè)計(jì)

一旦我們擁有需要改進(jìn)其響應(yīng)的組件（或工廠）的傳遞函數(shù)，我們就需要做幾項(xiàng)改進(jìn)。MATLAB 包含許多“工程工具箱”，使工程師能夠創(chuàng)建、分析和模擬各種不同的項(xiàng)目。在我們的例子中，MATLAB 包含了控制系統(tǒng)工具箱，其中包括為控制系統(tǒng)工程量身定制的幾個(gè)函數(shù)。他們還包括 SISO（單輸入單輸出）工具，這是一個(gè)允許交互式系統(tǒng)分析和控制設(shè)計(jì)的 GUI。SISO 工具方法的兩個(gè)方面是：

1. 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的變化如何改變實(shí)時(shí)響應(yīng)中的根軌跡和波德圖。增益的變化也可以立即反映在系統(tǒng)的階躍響應(yīng)中。

2. 指定設(shè)計(jì)要求將在圖形上創(chuàng)建視覺限制，以幫助用戶設(shè)置和找到適當(dāng)?shù)脑鲆妗?/font>這是通過(guò)右鍵單擊 SISO 工具根軌跡圖并選擇“設(shè)計(jì)要求”來(lái)完成的。然后選擇要設(shè)置的特征類型并定義其限制。這將為您提供定義的邊界限制和帶陰影的“無(wú)效”區(qū)域（橙色陰影）。重要的是，作為設(shè)計(jì)師，您要列出您的優(yōu)先事項(xiàng)并記下重要的規(guī)范。  

示例系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 

      $$G\left(s\right)=\frac{K(s+8)}{(s+3)(s+6)(s+10)}$$