部分：電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算

電場(chǎng)強(qiáng)度 E 是描述電場(chǎng)強(qiáng)弱和方向的物理量，其定義是單位正電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)所受到的力。計(jì)算公式為：

E = F / q

• E: 電場(chǎng)強(qiáng)度 (單位：牛頓/庫(kù)侖, N/C 或 伏特/米, V/m)

• F: 試探電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)受到的靜電力 (單位：牛頓, N)

• q: 試探電荷的電量 (單位：庫(kù)侖, C)

這只是定義式。在實(shí)際計(jì)算中，我們根據(jù)場(chǎng)源電荷的分布有不同的具體計(jì)算方法。

1. 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度

這是基本的情況。真空中，一個(gè)點(diǎn)電荷 Q 在距離其為 *r* 的位置產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：

E = (1 / (4πε?)) * (|Q| / r2) = k * (|Q| / r2)

• k: 靜電力常量，k ≈ 9.0 × 10? N·m2/C2

• ε?: 真空介電常數(shù)

• 方向：如果 Q 是正電荷，E 的方向沿徑向向外；如果 Q 是負(fù)電荷，E 的方向沿徑向向內(nèi)。

2. 多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度（ superposition principle）

電場(chǎng)滿足疊加原理?？臻g中某點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)獨(dú)立產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量之和。

E_total = E? + E? + E? + ...

計(jì)算時(shí)需要將每個(gè)場(chǎng)強(qiáng)分解到坐標(biāo)軸上，分別求和后再合成。

3. 連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度

對(duì)于不能看作點(diǎn)電荷的帶電體（如帶電直線、圓環(huán)、球面、平面等），將其視為無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷 dq 的集合。每個(gè) dq 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 dE，總場(chǎng)強(qiáng)則為積分：

E = ∫ dE = (1 / (4πε?)) * ∫ (dq / r2) * r?

計(jì)算的關(guān)鍵在于根據(jù)電荷分布的幾何形狀選擇合適的電荷元 dq 和積分變量。

• 無(wú)限大均勻帶電平面：其附近的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小為 E = σ / (2ε?)，其中 σ 是電荷面密度。方向垂直于平面。

• 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線：距離導(dǎo)線為 *r* 處的場(chǎng)強(qiáng)大小為 E = λ / (2πε?r)，其中 λ 是電荷線密度。方向垂直于導(dǎo)線徑向向外。

• 均勻帶電球殼/球體：

  • 球外某點(diǎn) (r > R)：等效于所有電荷集中在球心產(chǎn)生的電場(chǎng)。E = (1 / (4πε?)) * (Q / r2)

  • 球內(nèi)某點(diǎn) (r < R)：

    • 對(duì)于球殼：內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng) E = 0。

    • 對(duì)于實(shí)心球體：E = (1 / (4πε?)) * (Q * r / R3)，其中 R 是球體半徑。

第二部分：電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系

電勢(shì) V 是描述電場(chǎng)能的性質(zhì)的物理量，表示單位正電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)所具有的電勢(shì)能。電場(chǎng)強(qiáng)度 E 和電勢(shì) V 從不同角度描述了同一個(gè)電場(chǎng)，它們之間存在著深刻的微分和積分關(guān)系。

1. 積分關(guān)系：由 E 求 V

一點(diǎn)的電勢(shì)等于電場(chǎng)強(qiáng)度從該點(diǎn)到零電勢(shì)參考點(diǎn)的路徑積分（即電場(chǎng)力將單位正電荷移到參考點(diǎn)所做的功）。

V? = ∫?^{ref} E · dl

通常，對(duì)于有限大小的帶電體，我們選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零。

• 物理意義：電勢(shì)是電場(chǎng)強(qiáng)度在空間上的累積。

• 推論：沿著電場(chǎng)線的方向，電勢(shì)逐漸降低。這是判斷電勢(shì)高低的重要方法。

2. 微分關(guān)系：由 V 求 E（重點(diǎn)）

這是兩者更常用、更直接的關(guān)系。電場(chǎng)強(qiáng)度 E 等于電勢(shì) V 的負(fù)梯度。

E = -?V

在直角坐標(biāo)系中，梯度算符 ? = (?/?x, ?/?y, ?/?z)，因此上式可分解為三個(gè)分量：

E? = -?V / ?x
E? = -?V / ?y
E_z = -?V / ?z

• 物理意義：

  1. 負(fù)號(hào) (-)：表示電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的方向指向電勢(shì)降低快的方向。

  2. 導(dǎo)數(shù)/偏導(dǎo)數(shù)：表示電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的大小反映了電勢(shì)在空間中的變化率。電勢(shì)變化越劇烈（等勢(shì)面越密集）的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度越大。

3. 一個(gè)更直觀的理解：電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)

對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng)這種簡(jiǎn)單的情況，關(guān)系變得非常直觀：

E = -ΔV / d

• E: 電場(chǎng)強(qiáng)度大小

• ΔV: 兩點(diǎn)間的電勢(shì)差（電壓）

• d: 兩點(diǎn)沿電場(chǎng)方向的距離

• 結(jié)論：在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于沿電場(chǎng)方向單位距離上的電勢(shì)差。單位 V/m 和 N/C 是等價(jià)的。

總結(jié)對(duì)比

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：

• 電場(chǎng)強(qiáng)度 E 是“電勢(shì)坡度”的度量。坡度越陡（等勢(shì)線越密），E 越大。

• 電勢(shì) V 是“海拔高度”，而 電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的方向是“下坡方向”，大小是“坡度”。