了解從解調(diào)頻移鍵控基帶信號中提取原始數(shù)字數(shù)據(jù)的 DSP 技術(shù)。

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用于在正弦波形中對二進制數(shù)據(jù)進行編碼的方法之一稱為頻移鍵控 (FSK)。這是一個簡單的概念：一個頻率代表零，不同的頻率代表一。例如：

低頻 FSK 信號（例如，幾十千赫茲）可以轉(zhuǎn)換為更高頻率，然后傳輸。這是創(chuàng)建實現(xiàn)數(shù)字數(shù)據(jù)無線傳輸?shù)?RF 系統(tǒng)的一種有效且相當直接的方法——假設(shè)我們有一個接收器可以將所有這些正弦波形轉(zhuǎn)換回 1 和 0。

從傳輸?shù)?FSK 信號中提取數(shù)字數(shù)據(jù)的過程可分為兩個一般任務(wù)：首先，將高頻接收信號轉(zhuǎn)換為低頻基帶信號。我將此稱為“解調(diào)”。其次，必須將基帶波形轉(zhuǎn)換為 1 和 0。我不認為將這第二步稱為“解調(diào)”是不正確的，但為了避免混淆，當我談?wù)搶⒌皖l模擬波形轉(zhuǎn)換為數(shù)字位時，我將始終使用術(shù)語“解碼”。

軟件解碼

對于數(shù)據(jù)速率適中的系統(tǒng)，將 FSK 基帶信號數(shù)字化并在軟件中進行解碼是完全可行的。（您可以查看我們對軟件定義無線電的介紹， 了解有關(guān)在軟件中實現(xiàn)重要信號處理任務(wù)的射頻系統(tǒng)的更多信息。）在我看來，這是一種極好的方法，因為它允許接收器受益于數(shù)字信號處理，它還提供了一種在測試過程中記錄和分析接收信號的便捷方式。

在本文中，我們將使用 Scilab 對 FSK 信號進行解碼，但所涉及的計算并不復雜，并且可以很容易地在數(shù)字信號處理器中以 C 代碼的形式實現(xiàn)。

要事：數(shù)學

我們解碼 FSK 的技術(shù)基于正弦信號的乘積。考慮以下三角恒等式：

sin(x)?sin(y)=12(cos(xy)?cos(x+y))<span style="color:#000000;">sin</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">(</span><span style="color:#000000;">x</span><span style="color:#000000;">)</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">sin</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">(</span><span style="color:#000000;">y</span><span style="color:#000000;">)</span><span style="color:#000000;">=</span><span style="color:#000000;">1</span><span style="color:#000000;">2</span><span style="color:#000000;">(</span><span style="color:#000000;">cos</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">(</span><span style="color:#000000;">x</span><span style="color:#000000;">y</span><span style="color:#000000;">)</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">cos</span><span style="color:#000000;">?</span><span style="color:#000000;">(</span><span style="color:#000000;">x</span><span style="color:#000000;">+</span><span style="color:#000000;">y</span><span style="color:#000000;">)</span><span style="color:#000000;">)</span>

$$\cos \left(x\right)?\cos \left(y\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(xy)+\cos (x+y\left)\right)$$

讓我們使用 ω 1 t 和 ω 2 t 代替 x 和 y，使其更符合工程界。

$$\sin \left({\omega }_{1}t\right)?\sin \left({\omega }_{2}t\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(({\omega }_1?{\omega }_2)t)?\cos (({\omega }_1+{\omega }_2)t\left)\right)$$

$$\cos \left({\omega }_{1}t\right)?\cos \left({\omega }_{2}t\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(({\omega }_1?{\omega }_2)t)+\cos (({\omega }_1+{\omega }_2)t\left)\right)$$

（請注意，我們忽略了相位差的影響；在本文中，我們假設(shè)所有信號都具有相同的相位。）我們可以將兩個正弦波或兩個余弦波相乘，結(jié)果由兩個余弦波組成，頻率為等于兩個原始頻率的和與差。這里的關(guān)鍵觀察是，如果兩個輸入波具有非常相似的頻率，則 cos((ω 1 –ω 2 )t) 波形將具有非常低的頻率。在理想化的數(shù)學領(lǐng)域，我們可以輸入兩個相同頻率和 cos((ω 1 –ω 2)t) 變?yōu)?cos(0t) = cos(0) = 1。因此，如果我們將兩個相同頻率的正弦波或兩個余弦波相乘，得到的波形將具有相對較大的直流偏移。

在解碼 FSK 的上下文中，我們可以這樣說：即使頻率相似而不是相同，仍然會有很大的直流偏移，因為 cos((ω 1 –ω 2 )t)波形將從1開始并且相對于一位周期下降得非常緩慢. 位周期是編碼一個數(shù)字位所需的時間量；在上圖中，位周期對應(yīng)二進制 0 頻率的一個周期（或二進制 1 頻率的三個周期）。一個比特周期中包含的模擬波形部分稱為符號。在本文中，我們使用二進制（即雙頻）FSK，因此一個符號對應(yīng)一個數(shù)字位。可以使用兩個以上的頻率，這樣一個符號可以傳輸多個比特。

逐步解碼 FSK

我們現(xiàn)在有了制定 FSK 解碼程序所需的信息：

1. 將接收到的基帶信號數(shù)字化。
2. 識別位周期的開始。這可以在訓練序列的幫助下完成；有關(guān)更多信息，請單擊此處并向下滾動到“數(shù)據(jù)包剖析”部分中的“序言”標題。對于本文，我們假設(shè)數(shù)據(jù)被編碼為正弦波（如上圖所示）而不是余弦波。
3. 將每個符號乘以二進制 0 頻率的正弦波和二進制 1 頻率的正弦波。
4. 計算每個符號的直流偏移。
5. 選擇一個閾值并根據(jù)符號的直流偏移是高于還是低于閾值來決定二進制 0 和二進制 1。

Scilab 實施

我們將從以二進制 0 頻率 (10 kHz) 和二進制 1 頻率 (30 kHz) 生成單符號正弦波形開始。

零頻 = 10e3；
OneFrequency = 30e3;
采樣頻率 = 300e3；
Samples_per_Symbol = 采樣頻率/零頻率；
n = 0:(Samples_per_Symbol-1);
Symbol_Zero = sin(2*%pi*n / (SamplingFrequency/ZeroFrequency));
Symbol_One = sin(2*%pi*n / (SamplingFrequency/OneFrequency));
繪圖（n，Symbol_Zero）
繪圖（n，Symbol_One）

現(xiàn)在讓我們創(chuàng)建接收到的基帶信號。我們可以通過連接Symbol_Zero和Symbol_One數(shù)組來做到這一點；我們將使用序列 0101：

ReceivedSignal = [Symbol_Zero Symbol_One Symbol_Zero Symbol_One];
情節(jié)（接收信號）

接下來，我們將接收信號中的每個符號乘以二進制 0 符號的波形和二進制 1 符號的波形。我們根據(jù)接收信號中的符號數(shù)連接Symbol_Zero和Symbol_One數(shù)組，然后使用逐元素乘法來完成此步驟；有關(guān) Scilab（或 MATLAB）中逐元素乘法的更多信息，請參閱本文。

Decoding_Zero = ReceivedSignal .* [Symbol_Zero Symbol_Zero Symbol_Zero Symbol_Zero];
Decoding_One = ReceivedSignal .* [Symbol_One Symbol_One Symbol_One Symbol_One];
情節(jié)（解碼_零）

情節(jié)（解碼_一） 

不要被這些相當復雜的波形分心；我們感興趣的只是直流偏移，用數(shù)學術(shù)語來說就是平均值。如果我們要顯示每個交易品種對應(yīng)的DC偏移量，我們首先需要生成一些新的數(shù)組：

對于 k=1:(length(Decoding_Zero)/Samples_per_Symbol)
  > SymbolOffsets_Zero(((k-1)*Samples_per_Symbol)+1:k*(Samples_per_Symbol)) = mean(Decoding_Zero(((k-1)*Samples_per_Symbol)+1:k*(Samples_per_Symbol)));
  > 結(jié)束  
對于 k=1:(length(Decoding_One)/Samples_per_Symbol)
  > SymbolOffsets_One(((k-1)*Samples_per_Symbol)+1:k*(Samples_per_Symbol)) = mean(解碼_One(((k-1)*Samples_per_Symbol)+1:k*(Samples_per_Symbol)));
  > 結(jié)束

您可能需要稍微思考一下這些命令才能準確理解我在做什么，但基本思想如下：for 循環(huán)用于通過 Decoding_Zero 和 Decoding_One 數(shù)組處理一個符號。在SymbolOffsets_Zero和SymbolOffsets_One數(shù)組中，一個符號對應(yīng)的所有數(shù)據(jù)點都填充了Decoding_Zero和Decoding_One數(shù)組中相關(guān)符號的均值。每個符號有 30 個樣本，因此個命令對數(shù)組值 1 到 30 進行操作，下一個命令對數(shù)組值 31 到 60 進行操作，依此類推。以下是結(jié)果：

情節(jié)（SymbolOffsets_Zero）

情節(jié)（SymbolOffsets_One）

SymbolOffsets_Zero數(shù)組顯示接收到的基帶符號與二進制 0 頻率相乘產(chǎn)生的 DC 偏移，SymbolOffsets_One數(shù)組顯示接收到的基帶符號與二進制 1 頻率相乘產(chǎn)生的 DC 偏移。我們知道，將兩個相似的頻率相乘會產(chǎn)生比較大的直流偏移。因此， SymbolOffsets_Zero數(shù)組中的值 0.5表示接收到的符號是二進制 0，而SymbolOffsets_One數(shù)組中的值 0.5表示接收到的符號是二進制 1。

結(jié)論

本文介紹了一種解碼 FSK 的數(shù)學方法。該過程是在 Scilab 中實現(xiàn)的，但是將 Scilab 命令轉(zhuǎn)換為編程語言（例如 C）并不困難。我們將在下一篇文章中繼續(xù)使用 FSK 解碼。