我們正在分析 Moog 階梯濾波器的行為。在本節(jié)中，我們將分析拓撲的并將濾波器的小信號開環(huán)傳遞函數(shù)表示為一個整體。

壓控濾波器 (VCF) 是模擬合成器的支柱。但是有一個濾波器高于其他濾波器，因為它具有創(chuàng)造性、有效性，并且（我有充分的權威）聽上去“出色”：  Moog 階梯濾波器。

在本系列中，我們將從小信號開環(huán)分析開始分析 Moog 梯形濾波器的行為。

在上一篇文章中，我們回顧了過濾器的主要元素并分析了驅(qū)動程序部分?，F(xiàn)在，我們將分析拓撲的（濾波器部分）并將濾波器的小信號開環(huán)傳遞函數(shù)表示為一個整體。

在第 1 部分中，我們看到了 Moog 梯形濾波器的完整原理圖并將其簡化為圖 1 中所示的形式。 

圖 1. Moog 過濾器

我們將拓撲分為三個元素：

• 驅(qū)動級
• 中間過濾階段
• 輸出濾波級

 這三個階段如圖 2 所示。

圖 2. 梯形濾波器拓撲的三個元素。(a) 驅(qū)動差分對。(b) 中間階梯低通濾波器部分。(c) 頂層的輸出濾波器部分。

同樣在第 1 部分中，我們推導出了驅(qū)動級中電壓和電流之間的關系，如上圖 2(a) 所示。現(xiàn)在，我們將分析圖 2(b) 和 2(c) 中描繪的濾波器級。

Moog 濾波器的各個濾波器

濾波器部分彼此相似，不同之處在于一個驅(qū)動階梯中的另，而另一個連接到電源。兩者都采用相同的機制，因此我們將僅分析圖 3 中所示的機制。

圖 3.  Moog 濾波器中的一個濾波器部分，具有差分驅(qū)動電流。

對于小信號分析，我們可以進行以下簡化，如圖 4、5、6 和 7 所示。

圖 4. 利用堿基保持恒定電位這一事實，將電容器作為電抗。

圖 5. 移除短路的晶體管。

圖 6. 晶體管 Q3 以二極管配置連接，因此我們可以用二極管示意性地替換它。

乍一看，圖 7 中的電路可能不像濾波器。 

圖 7. 二極管/晶體管終被混合 pi 模型取代。

這是公平的——像這樣的電流驅(qū)動 RC 電路并不常見。但是，注意到兩個并聯(lián)組件充當分流器而不是分壓器，它開始變得有意義了。

隨著容抗 Xc減小（隨著頻率增加），電容器兩端的電壓減小。

該電路的輸出電壓是電容器兩端的電壓，并將傳遞函數(shù)描述為跨阻抗 r tr，我們發(fā)現(xiàn)：

r t r = v o u t i n _= ? 1 2 j ω C + g mrtr=voutiin=?12jωC+gm

在哪里

$$g_m=\frac{I_C}{V_T}$$

對于晶體管偏置（驅(qū)動）電流 I C，我們假設高貝塔值。

對于中間濾波器級，輸出電流 g m v out成為下一部分的輸入電流。這個電流是：

$$i_{out}=i_{in}\frac{?g_m}{2j\omega C+g_m}$$

這是我們計算開環(huán)增益所需的其他結(jié)果。

總結(jié)這個濾波器部分：我們已經(jīng)證明輸入電流導致電容器兩端的電壓降與電容電抗成正比。隨著頻率的增加，電壓降低，給我們低通動作。它就像電容器和晶體管等效基極阻抗（跨導）之間的電流驅(qū)動 RC 濾波器。對于中間級，晶體管電流用作下一部分的輸入電流，而電容器電壓本身用作頂層的輸出。

綜合考慮：計算開環(huán)增益

我們已經(jīng)描述了驅(qū)動器和過濾器部分的傳遞函數(shù)。現(xiàn)在我們準備計算開環(huán)增益。對于n個濾波器級，我們可以結(jié)合我們之前的結(jié)果（一個驅(qū)動器，n-1個中間梯形濾波器部分和一個輸出濾波器部分），并找到，將輸出電容器的左側(cè)作為正：

$$v_{out}=\left(g_m{v}_{in}\right){\left(\frac{?g_m}{2j\omega C+g_m}\right)}^{n?1}\left(\frac{?1}{2j\omega C+g_m}\right)$$

這簡化為：

$$v_{out}=\pm v_{in}{\left(\frac{g_m}{2j\omega C+g_m}\right)}^{\mathrm{名詞}}$$

其中 $$v_{out}$$ 對n 個偶數(shù)為正，對n 個奇數(shù)為負。開環(huán)電壓增益為：$$v_{üt\_}$$

$$A=\pm {\left(\frac{g_m}{2j\omega C+g_m}\right)}^{\mathrm{名詞}}$$

利用 $$g_{m}$$ 約等于 $$\frac{1}{{r_e} '}$$ 的事實，我們可以重寫這是一個更熟悉的形式，$${米}_{\_}$$$$\frac{1}{{r_{\prime }}^{\_}}$$

$$A=\pm {\left(\frac{1}{j\omega r_e^{\prime }C+1}\right)}^{\mathrm{名詞}}$$

您可能會注意到，它與 RC 低通濾波器的傳遞函數(shù)非常相似，

$$A=\frac{1}{j\omega RC?1}$$

我們將在下一篇文章中詳細討論這一點。

圖 8. Moog 階梯濾波器行為總結(jié)。點擊放大。

我們可以將 Moog 濾波器的行為總結(jié)如下（見圖 8）：偏置電流設置晶體管的靜態(tài)點，并且該電流在階梯的兩側(cè)共享。

忽略反饋，左側(cè)的輸入電壓驅(qū)動小信號電流通過分支。分支之間的差分信號會在電容器上產(chǎn)生電位差，從而允許進行“過濾”。一種看待這個問題的方法是，晶體管的跨阻抗與電容器一起創(chuàng)建了一個 RC 濾波器。

輸出作為頂部電容器的電勢，取決于流過該電容器的小信號電流。

至此，我們假設了一些重要的事情：

1. 所有晶體管共享相同的 beta（即它們都匹配）。
2. 通過每個晶體管基極的電流可以忽略不計。
3. 晶體管充當理想的相關電流源（無早期效應）。
4. 所有晶體管都偏置在有源區(qū)。
5. 驅(qū)動級共模電壓可以忽略不計。
6. 偏置電流源是理想的。

即使采用這些理想化，電路也會受到溫度依賴性的影響（隱藏在 g m項和晶體管貝塔中）。然而，回想一下這個電路曾用于模擬合成器，這些缺陷被認為賦予了濾波器“特性”。 

結(jié)論

在我們分析的第二部分中，我們研究了的 Moog 梯形濾波器的小信號行為。我們做出了一些重要的假設和理想化以簡化分析并得出了 n 級濾波器的通用傳遞函數(shù)。

展望未來，我們將通過考慮反饋來擴展我們的分析，并更詳細地分析濾波器部分以了解濾波器參數(shù)。Moog 階梯濾波器也激發(fā)了一些模仿設計的靈感，我們也將看看這些。

據(jù)我所知，這是個面向普通讀者發(fā)布的 Moog 濾波器分析，我很高興能成為向設計師介紹這種創(chuàng)造性和智能設計的人。