偏離平均值

　　假設(shè)我們已經(jīng)將兩個(gè)模擬輸入信號(hào)數(shù)字化。如果我們將數(shù)字代碼轉(zhuǎn)換回伏特單位并繪制離散時(shí)間波形，它們看起來(lái)像這樣：

　　只需查看繪圖，我們就可以很好地猜測(cè)平均值：藍(lán)色信號(hào)的中心趨勢(shì)是 1.2 V，紅色信號(hào)的中心趨勢(shì)是 0.8 V。但是，如果我們僅平均值，我們將給人的印象是，這兩個(gè)信號(hào)之間重要的區(qū)別是平均值的 0.4 V 差異（或者我們可以將其稱為直流電平或直流偏移）。顯然，這個(gè)故事還有更多內(nèi)容。
　　電氣工程師會(huì)本能地將這些波形識(shí)別為包含相當(dāng)多噪聲的穩(wěn)定直流信號(hào)（可能是電源電壓）。
　　更重要的是，我們立即認(rèn)識(shí)到藍(lán)色信號(hào)比紅色信號(hào)噪聲明顯更大。如果我們只考慮平均值，那么噪聲性能的這種主要差異就會(huì)消失。
　　順便問(wèn)一下，為什么我們會(huì)在這些信號(hào)中感知到噪聲？因?yàn)?br>　　個(gè)別值明顯偏離平均值，
　　他們以一種看似隨機(jī)的方式這樣做，并且
　　相對(duì)于平均值，偏差很小。
　　當(dāng)統(tǒng)計(jì)學(xué)家看到與平均值的微小隨機(jī)偏差時(shí)，電氣工程師就會(huì)看到噪聲。
　　平均偏差
　　這些信號(hào)的噪聲有多大？比較吵？十分吵鬧？讓我們嘗試為這個(gè)問(wèn)題提供更準(zhǔn)確的答案。換句話說(shuō)，我們需要量化這些數(shù)據(jù)集中的偏差。
　　量化偏差時(shí)，我的直覺(jué)是找到每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與平均值之間的距離，然后計(jì)算所有這些距離的平均值。這將為您提供平均偏差（也稱為平均偏差），即值偏離中心趨勢(shì)的典型量。這是數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的平均偏差：
　　\[\text{平均偏差}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|x[k]-\mu|\]

　　其中 N 是數(shù)據(jù)集中值的數(shù)量，μ 是平均值，x[k] 是表示為離散時(shí)間變量 k 的函數(shù)的信號(hào)。

　　在此圖中，水平線表示高于和低于平均值一個(gè)平均偏差的電壓水平。
　　盡管平均偏差很直觀，但它并不是量化信號(hào)偏離平均值的趨勢(shì)的常用方法。為此，我們需要標(biāo)準(zhǔn)差。
　　方差和標(biāo)準(zhǔn)差
　　在電氣工程的背景下，平均偏差的問(wèn)題是我們對(duì)電壓（或電流）差異進(jìn)行平均，因此我們?cè)诜扔蛑胁僮?。噪聲現(xiàn)象的性質(zhì)使得我們?cè)诜治鲈肼晻r(shí)強(qiáng)調(diào)功率而不是幅度，因此我們需要一種在功率領(lǐng)域運(yùn)行的統(tǒng)計(jì)技術(shù)。
　　幸運(yùn)的是，這很容易獲得。功率與電壓或電流的平方成正比，因此我們需要做的就是在求和和平均之前對(duì)差項(xiàng)進(jìn)行平方。此過(guò)程產(chǎn)生稱為方差的統(tǒng)計(jì)度量，用 σ 2表示（發(fā)音為“西格瑪平方”）：
　　\[\sigma^2=\frac{1}{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}(x[k]-\mu)^2\]
　　我們可以將方差描述為信號(hào)隨機(jī)偏差的平均功率，表示為 power。這意味著方差與我們開(kāi)始使用的值的單位不同。如果我們分析電壓信號(hào)的波動(dòng)，方差的單位為 V 2而不是 V。
　　如果我們想使用原始單位來(lái)表達(dá)信號(hào)隨機(jī)偏差的趨勢(shì)，我們必須通過(guò)將平方根應(yīng)用于終值來(lái)補(bǔ)償每個(gè)差異的平方：
　　\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}(x[k]-\mu)^ 2}\]

　　此過(guò)程生成稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的統(tǒng)計(jì)測(cè)量，即信號(hào)隨機(jī)偏差的平均功率，表示為幅度。因此，如果我們分析電壓信號(hào)，則標(biāo)準(zhǔn)偏差的單位為 V，盡管我們使用電壓偏差的平方計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　　在此圖中，水平線表示高于和低于平均值一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的電壓水平。
　　方差和標(biāo)準(zhǔn)差以不同的方式表達(dá)相同的信息。據(jù)我所知，雖然方差在某些分析情況下更方便，但標(biāo)準(zhǔn)差通常是，因?yàn)樗且粋€(gè)可以直接解釋為信號(hào)偏離均值趨勢(shì)的度量的數(shù)字。