如果說有一個數(shù)字可以統(tǒng)治所有的數(shù)學和科學，那就是圓周率。π 這個小小的符號有著悠久的歷史，可以追溯到數(shù)千年以前。從對圓進行粗略近似的古代文明，到計算萬億位數(shù)的現(xiàn)代超級計算機，圓周率一直吸引著數(shù)學家和好奇者的關注。這篇文章，我們將通過 COMSOL Multiphysics? 仿真軟件提供的功能，以一種有趣和流行的方法來計算圓周率。
　　歷史上對圓周率的近似計算
　　已知早的圓周率近似值出現(xiàn)在古代文明中。巴比倫的數(shù)學家將圓周率近似為 3，這個數(shù)值在當時的建筑工程中是合理的，后來又被為 3.125。埃及的數(shù)學家和印度的學者分別通過比較圓形和八邊形的面積，以及巨量的計算得出了近似的數(shù)值。包括阿基米德在內的一些希臘學者利用幾何方法將圓周率的近似值到 3 個數(shù)量級以內，使圓周率的計算取得了重大突破。

　

　　左圖：Domenico Fetti 于 1620 年創(chuàng)作的 Archimedes Thoughtful（又名：Portrait of a Scholar）。圖片屬于公有領域，通過 Wikimedia Commons 共享。右圖：Leonardo Fibonacci 的肖像。圖片屬于公有領域，通過 Wikimedia Commons 共享。
　　如今我們普遍使用的 3.14 近似值是來自中國數(shù)學家劉徽的計算，他提出這個近似值是為了方便實際應用。圓周率計算的后續(xù)發(fā)展涉及無窮級數(shù)估算和三角關系的利用。數(shù)學家們利用微積分推導出了可用于計算高精度圓周率的無窮級數(shù)， Fibonacci 和 Al-Khwarizmi 對此做出了重要貢獻。
　　這些發(fā)展為我們使用的現(xiàn)代方法奠定了基礎，包括計算機中使用的算法，即通過先進的數(shù)學工具和計算能力計算萬億位數(shù)的算法，以極高的精度計算圓周率。一些的計算方法包括 Chudnovsky 算法、Gauss–Legendre 算法、Machin 公式，以及 Monte Carlo（蒙特卡羅）方法。
　　通俗易懂的蒙特卡羅方法

　　蒙特卡羅方法是一種依靠隨機抽樣來估計數(shù)值結果的計算技術，特別適用于包含大量變量的問題。對于這種問題，可以利用內在的隨機性來解決確定性問題。想象這樣一個場景，你正在為一場聚會計算需要訂購多少個披薩。這里的確定性問題是計算每個人要吃多少片披薩。與其詢問每個人要吃多少片披薩，然后求和得出結果（這對一個大型聚會來說可能相當麻煩），不如隨機挑選幾個朋友，詢問他們要吃多少片披薩，然后求平均值來解決問題。這有點像蒙特卡羅方法，即使用隨機樣本來估計一個值。蒙特卡洛法被廣泛用于模擬各種復雜現(xiàn)象，如流體、統(tǒng)計力學、生物化學、密碼學、社會學和心理學。

　

　　這種思維可以擴展到現(xiàn)在流行的一種有趣的估計圓周率的方法。這種方法是在一個正方形內隨機放置一些點，然后計算有多少點位于正方形內切圓內。圓內的點數(shù)與總點數(shù)之比可以用來近似計算圓周率。由于內嵌在邊長為 2r 的正方形中的圓的面積為 πr，而正方形的面積為 (2r)= 4r，因此它們的面積之比為 π/4。也就是說一個點落在圓內的概率是 π/4。因此，如果將圓內點數(shù)與總點數(shù)之比乘以 4，就可以得到 π 的估計值。這是因為隨著點數(shù)的增加，比率會趨近于實際值 π/4。

　　
　　估計圓周率的基礎。
　　在 COMSOL Multiphysics? 中使用蒙特卡羅方法估算圓周率
　　為了進行簡單的蒙特卡羅模擬，我們使用數(shù)學粒子追蹤接口。在 COMSOL Multiphysics? 軟件平臺中添加粒子追蹤模塊就可以使用這個接口。雖然該模塊的用戶通常不會使用它來隨機生成點，但出于可視化和美觀的目的，我們決定在這個有趣的示例中使用它。

　　現(xiàn)在，我們來舉例說明。一些粒子被隨機釋放到一個正方形區(qū)域并保持靜止。對位于正方形內切圓區(qū)域內的粒子數(shù)量進行追蹤，以獲取圓周率的實時估計值?？梢钥吹?，隨著點數(shù)的增加，估計值（藍色實線）逐漸接近真實值（綠色虛線）。值得注意的是，估計值的度并不隨點的數(shù)量呈線性變化。蒙特卡羅近似的統(tǒng)計誤差通常與 1/sqrt(n) 成正比。這意味著，要將誤差減少 10 倍，通常需要將點數(shù)增加 100 倍。

　　在隨機放置的點數(shù)不斷增加的情況下，圓周率的實時估計值（藍色實線）與真實值（綠色虛線）的對比。

　　接下來，我們使用 COMSOL Multiphysics? 中的 App 開發(fā)器創(chuàng)建了一個基于仿真模型的仿真 App。在這個 App 中，我們可以使用一個滑塊改變點的數(shù)量，并獲得圓周率在不同點數(shù)下的估計值及其與真實值的誤差。該 App 還將隨機放置的點可視化，并通過顏色協(xié)調來識別位于圓內的點。

　　使用仿真 App 根據(jù)不同的點數(shù)估算圓周率，并獲得對結果的可視化解讀。