1 概述

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，糾錯碼被用來提高信道傳輸?shù)目煽啃院凸β世寐?，因為它可以檢測并糾正信號傳輸過程中引入的錯誤，抗干擾能力強，所以糾錯碼的設(shè)計是保證數(shù)據(jù)可靠傳輸?shù)囊粋€重要組成部分。

早在20世紀中期，香農(nóng)(Shannon)就提出并證明了的抗干擾信道編碼定理：設(shè)某信道有r個輸入符號，s個輸出符號，信道容量為C。當(dāng)信道的信息傳輸率R<C時，只要碼長N足夠長，總可以在輸入集合(含有rN個長度為N的碼符號序列)中，找到M(M≤2C-ε，ε為任意小的正數(shù))個碼字，分別代表M個等可能性的消息，組成一個信道編碼，選擇相應(yīng)的譯碼規(guī)則，使信道輸出端的譯碼過程的平均錯誤譯碼概率Pe，min達到任意小。

抗干擾信道編碼定理只是一個存在性定理。它表明平均錯誤譯碼概率Pe趨向于0、信道信息傳輸率無限接近于信道容量的抗干擾信道編碼是存在的。雖然香農(nóng)并沒有給出相應(yīng)的實現(xiàn)方法，但在這一定理的指引下，糾錯碼已發(fā)展成信息論的一個專門分支學(xué)科。幾十年來，隨著通信技術(shù)的發(fā)展和實際應(yīng)用的不斷增加，人們一直在努力尋找能夠更加逼近香農(nóng)限的高性能的編譯碼方法。從早期的分組碼、代數(shù)碼、卷積碼，到今天的Turbo碼、LDPC碼，系統(tǒng)性能與香農(nóng)限之間的差距越來越小。表1是幾種重要編碼的指標比較。

表中：第2列為碼率等于1／2的碼型；第3列為不同類型碼在1／2碼率時，為實現(xiàn)通信錯誤譯碼概率Pe<10-5所需要增加的信噪比?？梢?，BCH碼和卷積碼與解還有很大距離。Turbo碼和LDPC碼的性能指標十分接近香農(nóng)干擾信道編碼定理的解。LD-PC碼是目前逼近香農(nóng)限的一類糾錯碼。

LDPC碼是Gallager早于1962年提出的，亦稱Gallager碼。之后，在Turbo碼研究的巨大成功的帶動下，Mackay等人重新研究了LDPC碼，并發(fā)現(xiàn)它具有非常好的特點?；诹己玫淖g碼性能，LDPC碼成為當(dāng)前糾錯編碼的一個研究熱點，目前，LDPC碼已成為第4代移動通信編碼技術(shù)中的。

2 LDPC碼結(jié)構(gòu)

LDPC碼是一種可以用非常稀疏的校驗矩陣來定義的線性分組糾錯碼，它是一種基于正則的稀疏二分圖的編碼，因此也稱為正則低密度碼。LDPC的編碼主要是尋找一種合適的方法產(chǎn)生稀疏校驗矩陣H，它與其他分組碼的校驗矩陣的區(qū)別在于它的矩陣中含有大量的0，僅含有少量的1。這也就是LDPC碼性能優(yōu)異的原因所在。該矩陣可以采用長度線性同余序列產(chǎn)生。

在LDPC碼的研究過程中，Tanner提出二分圖(Bipartite Graph)模型對LDPC碼進行分析。用二分圖(見圖1)表示LDPC碼的優(yōu)點是便于譯碼和進行性能分析。二分圖和校驗矩陣是直接對應(yīng)的，由比特節(jié)點、校驗節(jié)點和連接它們的邊構(gòu)成。每個校驗節(jié)點fi對應(yīng)于H矩陣的一行，每個比特節(jié)點xi對應(yīng)于H矩陣的一列。當(dāng)碼字中某一比特包含在某一校驗方程中，即校驗矩陣中相應(yīng)的位為1時，圖1中的校驗節(jié)點和比特節(jié)點之間存在連線。二分圖也叫Tanner圖。對于每個節(jié)點，與之相連的邊數(shù)稱為這個節(jié)點的次數(shù)(degree)。根據(jù)二分圖中消息節(jié)點和校驗節(jié)點次數(shù)分布的不同，LDPC碼可以分為正則碼和非正則碼。正則碼就是每個消息節(jié)點的次數(shù)都相同，每個校驗節(jié)點的次數(shù)也相同；非正則碼就是消息節(jié)點的次數(shù)不都相同，校驗節(jié)點的次數(shù)不都相同。

3 編碼方法

一般情況下校驗矩陣H是隨機構(gòu)造的，因而是非系統(tǒng)化的。在編碼時像一般線性分組碼一樣，可以對矩陣H用高斯刪除法，把它化為圖2所示的下三角形形式。將碼字X劃分為系統(tǒng)部分S和校驗部分C，即X=(S，C)。首先將n-m維信息符號作為S，再用回代法確定m個校驗信號，即計算：

但是，當(dāng)H很大時，高斯刪除法的計算量過大，時間太長。因此，通常采用下面所述的準下三角形校驗矩陣編碼方法，如圖3所示。

該編碼過程主要分為預(yù)處理和實際編碼兩步。在預(yù)處理階段，首先進行矩陣的行列置換，目前比較常用的轉(zhuǎn)換方法是貪婪算法，變換后得到的矩陣是準下三角形的形式，如圖3所示。然后還需要校驗φ=～ET-1B+D是非奇異的。

將校驗矩陣H表示成如下形式，令式中：A為(m-g)×(n-m)矩陣；B為(m-g)×g矩陣；T為(m-g)x(m-g)矩陣；C為g×(n-m)矩陣；D為g×g矩陣；E為g×(m-g)矩陣。

T為一個方陣，而且它是一個對角元素為1的下三角矩陣。用矩陣日左乘 ，可得 ，因為X=(S，p1，p2)，定義S為系統(tǒng)部分，p1，p2為校驗部分，p1長度為g，p2長度為m-g，所以HXT=0T，可以用下面兩個方程表示：

定義φ=-ET-1B+D，并假設(shè)φ是非奇異矩陣。則從式(2)可以得到：

因此，只要矩陣-φ-1(-ET-1A+C)已知，只要進行簡單的矩陣相乘運算就能得到p1，再求p1T。然后由式(1)可以得到p2T=-T-1(AST十Bp1T)。因此，在給出向量S和奇偶校驗矩陣H時就可以很容易得到X=(S，p1，p2)。

此外，文獻[4]出用有限幾何中的點線來構(gòu)造LDPC碼，并使其編碼時間與長度n成線性的關(guān)系。平時使用的有限幾何有兩種：歐氏幾何和射影幾何。這些編碼方法都大大降低了編碼復(fù)雜度。

4 LDPC碼在通信技術(shù)中的應(yīng)用

LDPC碼由于更接近香農(nóng)限的誤碼率性能，完全并行的迭代譯碼算法使其比Turho碼在部分場合的應(yīng)用前景更為廣闊。在許多需要高可靠性的通信系統(tǒng)中，LDPC碼成了Turbo碼的有力競爭者。

4.1 LDPC碼在UWB系統(tǒng)中的應(yīng)用

UWB(超寬帶)信號的特點是低信噪比、抗多徑能力強、高數(shù)據(jù)速率和信號的頻譜寬、功率低，因此其信道編碼應(yīng)該具有較強的糾錯能力和較低的編譯碼復(fù)雜度。LDPC碼同時具有以上兩個方面的特性。在構(gòu)造應(yīng)用于UWB系統(tǒng)的LDPC碼時，需要滿足下面3個條件：采用中短長度的碼；盡量避免二分圖中短長度圈的個數(shù)；盡量優(yōu)化檢驗矩陣H的結(jié)構(gòu)。

一個K個用戶DS-UWB系統(tǒng)的信號通過室內(nèi)多徑信道的系統(tǒng)整體框圖如圖4所示。

每個用戶的信息比特通過LDPC碼編碼器后，都采用BPSK(二進制相移鍵控)直接序列擴頻調(diào)制。假設(shè)n(￡)是均值為0的AWGN(高斯白噪聲)，接收機是自適應(yīng)的，并且采用MMSE(均方誤差)方法。將自適應(yīng)接收機輸出的軟信息和方差一起送到LD-PC碼譯碼器。

4.2 LDPC碼在CDMA系統(tǒng)中的應(yīng)用

將LDPC碼應(yīng)用于CDMA(碼分多址)系統(tǒng)將大大提高通信系統(tǒng)容量。由圖5可見，使用LDPC碼的CDMA系統(tǒng)的容量是使用正交卷積碼的CDMA系統(tǒng)容量的2倍，是未使用糾錯碼的CDMA系統(tǒng)容量的5倍。

隨著移動通信用戶的日益增多，LDPC碼將在未來的移動通信的擴容中發(fā)揮重要作用。

4.3 LDPC碼在其他通信技術(shù)中的應(yīng)用

文獻[7]建議把LDPC碼用在DSL(數(shù)字用戶線)中，模擬結(jié)果顯示，LDPC：碼獲得編碼增益與Turbo碼相當(dāng)，但是其運算量大大低于Turbo碼，且沒有Turbo碼中出現(xiàn)的差錯平底現(xiàn)象。模擬結(jié)果還顯示，在0.5 ms～10 ms延時條件限制下，其獲得的編碼增益遠高于G.922.1建議中使用的trellis-coded調(diào)制所獲得的編碼增益。

在文獻[8]中，F(xiàn)larion所開發(fā)的集成了V-LDPC的flash-OFDM(正交頻分復(fù)用技術(shù))移動無線芯片組已用于基于IP的移動寬帶網(wǎng)，以便增大傳輸距離和在無線信道中的堅韌性，而且硬件實現(xiàn)比較簡單。flash-OFDM用于移動設(shè)備上，其數(shù)據(jù)速率可達3 Mbit／s。

此外，LDPC碼在有記憶衰落信道、壓縮圖像傳輸和磁記錄信道等方面也有重要應(yīng)用。

5 結(jié)束語

LDPC碼具有良好的譯碼性能，與Turbo碼相比更易于硬件實現(xiàn)，并能得到更高的譯碼速度。下一步的研究將集中在如何設(shè)計出碼長更長的LDPC譯碼器，進一步提高傳輸速率，降低誤碼率，以使LDPC碼在未來通信技術(shù)中得到更加廣泛的應(yīng)用。